場合の数・確率の解き方

この分野の分かれ目は「順列と組み合わせのどちらを使うか」の一点に尽きます。ここを間違えると、そのあとの計算が正しくても答えは合いません。

1. 順列と組み合わせの使い分け

判断基準はひとつだけです。並べる順番が結果に影響するかどうか。

「AとBを選ぶ」と「BとAを選ぶ」が同じことなら組み合わせ、「1位A・2位B」と「1位B・2位A」が違うことなら順列です。

選ぶだけなら 5C3 = 10通り。3人に順位をつけるなら 5P3 = 60通りです。同じ「5人から3人」でも6倍違います。

確率は次の割り算です。

確率 = 該当する場合の数 ÷ 全体の場合の数

大切なのは、分子と分母で数え方をそろえることです。分母を組み合わせで数えたなら、分子も組み合わせで数えます。片方だけ順列で数えると答えが合いません。

袋に赤玉3個、白玉2個が入っている。同時に2個取り出すとき、2個とも赤玉である確率は。

「同時に取り出す」は順番を問わないので、両方とも組み合わせで数えます。

「少なくとも1つ」を見たら余事象

「少なくとも1つが赤」を正面から数えると、赤1個・赤2個・赤3個…と場合分けが増えます。「1 −（1つも赤でない確率）」で求めるほうが圧倒的に速く、数え漏らしも起きません。

同様に「隣り合わない確率」は「1 −（隣り合う確率）」で求めます。否定形が出てきたら余事象を疑うのが定石です。

場合の数を数えるとき、足すのか掛けるのかで迷ったら、次の基準で判断します。

「サイコロを2回振る」は積の法則で 6 × 6 = 36通り。「1回振って1か6が出る」は和の法則で 1 + 1 = 2通りです。場合分けなら足す、段階を追うなら掛けると覚えてください。

公式が使えるのは、条件がそろっているときだけです。「Aの次にBは来ない」のような制約が入ると、公式では処理しきれません。その場合は樹形図で書き出します。

全体が20通り程度までなら、書き出したほうが速く確実です。公式にこだわって時間を溶かすより、手を動かすほうが得点になります。

「1個目が赤だったとき、2個目も赤である確率」のように、前の結果によって状況が変わるタイプです。

ここが最大の分岐点です。問題文の「戻さずに」「続けて」という表現を必ず確認してください。

赤3個・白2個から戻さずに2個取り出して両方赤になる確率は、3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10。先ほど組み合わせで求めた 3/10 と一致します。どちらの数え方でも答えは同じになるので、やりやすいほうで解いてください。

同じ文字が複数あるときは、その重複分で割ります。たとえば「AABB」の並べ方は 4! ÷ (2! × 2!) = 6通りです。

隣り合う2つを1ブロックとみなして並べ、最後にブロック内の並び方（2通り）を掛けます。n個のうち特定の2つが隣り合う確率は、必ず 2/n になります。

確率は既約分数で答えるのが原則です。3/6 のままでは減点される可能性があります。

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