順列・組み合わせの解き方

分野別の解き方 ＞ 順列・組み合わせ

この分野で判断することは1つだけです。並べる順番に意味があるか。それさえ決まれば、あとは掛けるか割るかしかありません。

1. 順序を区別するかどうか、だけ

この分野は、判断すべきことが1つしかありません。並べる順番に意味があるか。

• 意味がある → 順列（P）
• 意味がない → 組み合わせ（C）

「1位・2位・3位を決める」「順番に提供する」「役職を割り当てる」なら順列。「3人を選ぶ」「同時に取り出す」「代表を選ぶ」なら組み合わせです。

問題文に「同時に」「選ぶだけ」とあれば組み合わせ、「順に」「並べる」「順位」とあれば順列。この語で9割は判定できます。

2. 順列の計算

7種類の料理から3品を選び、コースの提供順を決める方法は何通りあるか。

順に出すので順列。7 × 6 × 5 = 210通り。

公式は nPr = n × (n−1) × … をr個ぶん掛けるだけです。7から始めて3個掛ける、と考えれば階乗の式を書く必要はありません。

3. 組み合わせの計算

6枚のカードから3枚を同時に引く方法は何通りあるか。

「同時に」なので順序は関係ありません。組み合わせです。

6 × 5 × 4 ÷ (3 × 2 × 1) = 20通り。

順列で数えてから、並べ替えの重複で割る。これが組み合わせの正体です。3個を選ぶなら、3個の並べ方 3! = 6 で割る。

4. 「AかつB」は掛ける

男子4人と女子4人の中から、男子1人と女子1人を選ぶ方法は何通りあるか。

男子の選び方4通り、女子の選び方4通り。両方を選ぶので 4 × 4 = 16通り。

「かつ」なら掛ける、「または」なら足す。これは場合の数の全体に通じる原則です。

5. 隣り合う・円になる

隣り合う条件

4個の箱を一列に置くとき、特定の2個が隣り合う置き方は何通りあるか。

隣り合う2個を1つのかたまりとみなします。すると箱は3個ぶん。3! = 6通り。かたまりの中で2個が入れ替われるので × 2 = 12通り。

「隣り合う」はまとめて1個と数え、あとで中の並べ替えを掛ける。手順は固定です。

円卓

5人が円卓に着席する方法は何通りあるか。

円卓では、全員が同じだけ回転した配置は同じとみなします。1人を固定して残りを並べるので (5−1)! = 24通り。

円なら1引いてから階乗。これだけ覚えれば足ります。

6. 順位をつける問題

7人の応募者から金賞1人、銀賞1人、銅賞1人を選ぶ方法は何通りあるか。

賞に違いがあるので順序に意味があります。順列です。7 × 6 × 5 = 210通り。

もし「入賞者3人を選ぶ」だけなら組み合わせになり、210 ÷ 6 = 35通り。同じ「7人から3人」でも、賞名の有無で答えが6倍変わります。

7. 最短経路の問題

碁盤の目状の道を、右と上だけで進んで最短で行く経路の数も、組み合わせで解けます。

右に3回、上に2回進むなら、全部で5回の移動のうちどの2回を「上」にするかを選ぶだけです。5 × 4 ÷ (2 × 1) = 10通り。

経路を1本ずつ数えようとすると必ず抜けます。「移動の並びから、上を選ぶ組み合わせ」に読み替えるのが定石です。

8. 検算のしかた

この分野は、桁の感覚で誤りに気づけます。

• 組み合わせの答えが、順列の答えより大きい → 割り忘れではなく、逆に割りすぎ
• 「7人から3人選ぶ」が210なら、それは順列。組み合わせなら35
• 円卓の答えが (n−1)! を超えていたら、1引き忘れ

順列と組み合わせは、必ず順列のほうが大きくなります。選んでから並べるぶん、順列は組み合わせの r! 倍です。この関係を覚えておくと、どちらで答えたかを自分で確かめられます。

9. つまずきやすい点

「選ぶ」と「並べる」を読み飛ばす

この分野の失点は、ほぼここに集中します。計算より先に、設問のどの語が順序を示しているかに線を引いてください。

割り忘れ

組み合わせで ÷ r! を忘れると、答えが r! 倍になります。3個選ぶなら6倍、4個なら24倍。選択肢に極端に大きい数が混ざっていたら、割り忘れの誘導です。

円卓で階乗をそのまま使う

5人の円卓を 5! = 120 としてしまう誤りです。回転して同じになる配置を5回ずつ数えているので、5で割った24が正解です。